đặt A=x/x+y+z    +y/y+z+t   +z/z+t+x   +t/t+x+y

ta có      x/x+y+z>x/x+y+z+t

y/y+z+t>y/x+y+z+t

z/z+t+x>z/z+t+x+y

t/t+x+y>t/x+t+y+z

=>A>x/x+y+t+z  +t/x+y+t+z  +z/x+y+t+z  +y/x+t+y+z=x+y+z+t/x+y+z+t=1>3/4  (1)

*)y/y+z+t<y+x/y+z+t+x

x/x+y+z<x+t/x+y+z+t

z/z+t+x<z+y/x+y+z+t

t/t+x+y<t+z/t+x+y+z

=>A<y+x/x+y+z+t  +x+t/x+y+z+t  +z+y/x+y+z+t  +t+z/x+y+z+t

            =y+x+x+t+z+y+t+z/x+y+z+t=2(x+y+z+t)/x+y+z+t=2<5/2   (2)

từ (1) và (2) =>3/4<A<5/2

=>

Ta có:

\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}

TH1 : \(x+y+z+t=0\)

    => \(x+y=-\left(z+t\right)\)

         \(y+z=-\left(x+t\right)\)

         \(z+t=-\left(x+y\right)\)

        \(x+t=-\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{z+t}=\frac{y+z}{t+x}=\frac{z+t}{x+y}=\frac{t+x}{y+z}=-1\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=-4\)

TH2 : \(x+y+z+t\ne0\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)

\(=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=3\)( do \(x+y+z+t\ne0\))

\(\Rightarrow x=3\left(y+z+t\right)\)

     \(y=3\left(z+t+x\right)\)

     \(z=3\left(t+x+y\right)\)

     \(t=3\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4x=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4y=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4z=3\left(x+y+z+t\right)\)

         \(4t=3\left(x+y+z+t\right)\)

\(\Rightarrow\)\(4x=4y=4z=4t\)

\(\Rightarrow\)\(x=y=z=t\)

\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)\(=1+1+1+1\)\(=4\)

Vậy trong cả 2 trường hợp  P đều có giá trị nguyên

Bài trên đúng rồi đó các bạn cho bn ý

Mà đây là Toán 7 thì đúng hơn 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=4\\A=-4\end{matrix}\right.\)

Vậy biểu thức A luôn có giá trị nguyên (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

\(VP=\frac{x}{y+z+t}+\frac{y}{z+t+x}+\frac{z}{t+x+y}+\frac{t}{x+y+z}+\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}=\left(\frac{x}{y+z+t}+\frac{y+z+t}{9x}\right)+\left(\frac{y}{z+t+x}+\frac{z+t+x}{9y}\right)+\left(\frac{z}{t+x+y}+\frac{t+x+y}{9z}\right)+\left(\frac{t}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{9t}\right)+\frac{8}{9}\left(\frac{y+z+t}{x}+\frac{z+t+x}{y}+\frac{t+x+y}{z}+\frac{x+y+z}{t}\right)\)\(\ge8\sqrt[8]{\frac{x}{y+z+t}.\frac{y}{z+t+x}.\frac{z}{t+x+y}.\frac{t}{x+y+z}.\frac{y+z+t}{9x}.\frac{z+t+x}{9y}.\frac{t+x+y}{9z}.\frac{x+y+z}{9t}}+\frac{8}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{t}{x}+\frac{z}{y}+\frac{t}{y}+\frac{x}{y}+\frac{t}{z}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{x}{t}+\frac{y}{t}+\frac{z}{t}\right)\)\(\ge\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12\sqrt[12]{\frac{y}{x}.\frac{z}{x}.\frac{t}{x}.\frac{z}{y}.\frac{t}{y}.\frac{x}{y}.\frac{t}{z}.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}.\frac{x}{t}.\frac{y}{t}.\frac{z}{t}}=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}.12=\frac{40}{3}=VT\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t > 0 

Chứng minh cái gì ???

M không là số tự nhiên

Với \(x,y,z,t\in N\)

Ta có

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{z+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{z+t+x}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

Cộng từng vế của 4 bđt trên ta có

\(1< M< 2\)

Vậy M không phải số tự nhiên

Ta có: \(A=\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}\)

\(A>\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}=1>\frac{9}{10}\)

\(A< \frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{y+x}{x+y+z+t}+\frac{z+y}{x+y+z+t}+\frac{t+z}{x+y+z+t}=2< \frac{9}{4}\)

Vậy: \(\frac{9}{10}< A< \frac{9}{4}\)

bạn girl làm đúng rồi , giống ý tưởng của mình là đánh giá dãy trên nhỏ hơn 1 và lớn hơn 2

Nhưng bạn nên đánh giá rõ từng phân số nhé , không nên làm tắt như bài của bạn ấy :)

\(\frac{x}{z+t+y}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{z+t+y+z+t+x+t+x+y+x+y+z}=\frac{x+y+z+t}{3.\left(x+y+t+z\right)}=\frac{1}{3}\)

bạn tự làm tiếp đi nhé

\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{x+z+t}=\frac{z}{x+y+t}=\frac{t}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y+z+t}+1=\frac{y}{x+z+t}+1=\frac{z}{x+y+t}+1=\frac{t}{x+y+z}+1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y+z+t}=\frac{y}{x+y+z+t}=\frac{z}{x+y+z+t}=\frac{t}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow x=y=z=t\) Thay vào p ta được

\(p=\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}+\frac{x+x}{x+x}=1+1+1+1=4\)

=> p là số nguyên (đpcm)

Vì \(x;y;z;t\in N\)^* nên ta có :

\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t+y}{x+y+z+t}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+t}+\frac{z}{y+z+t}+\frac{t}{x+z+t}< \frac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

=> M có giá trị không phải là số tự nhiên

Với\(x,y,z,t\in\)N*,ta có :\(\frac{x}{x+y+z+t}< \frac{x}{x+y+z}< \frac{x}{x+y}\left(1\right)\)

\(\frac{y}{x+y+z+t}< \frac{y}{x+y+t}< \frac{y}{x+y}\left(2\right);\frac{z}{x+y+z+t}< \frac{z}{y+z+t}< \frac{z}{z+t}\left(3\right)\)

\(\frac{t}{x+y+z+t}< \frac{t}{x+z+t}< \frac{t}{z+t}\left(4\right)\)

Cộng (1),(2),(3),(4),vế theo vế,ta có :\(\frac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< M< \frac{x+y}{x+y}+\frac{z+t}{z+t}\)hay 1 < M < 2 

Vậy M không phải là số tự nhiên

Đinh Đức Hùng giải SAI nha 

như bạn Phan Thanh Tịnh mới đúng

Ta có : x/y+z+t = y/z+t+x = z/t+x+y = t/x+y+z = x+y+z+t/3.(x+y+z+t) = 1/3

x/y+z+t = 1/3 => 3x = y+z+t     (1)y/z+t+x = 1/3 => 3y = z+t+x     (2)z/t+x+y = 1/3 => 3z = t+x+y     (3)t/x+y+z = 1/3 => 3t  = x+y+z    (4)

 

Ta lấy  (1) trừ (2) => 3x-3y = y-x

                         => 3x + x = 3y +y    (Dùng quy tắc chuyển vế )

                         =>.4x = 4y

                         => x=y     (5)

 

    (2)-(3) => ( Tương tự như trên nhưng thay lại bằng các số khác )     (6)    (3)-(4) =>      ----------------------------------------------------------------------          (7)

Từ (5) (6) (7) => x=y=z=t 

  MONG LÀ CÂU TRẢ LỜI NÀY ĐÚNG ! CHÚC BẠN THÀNH CÔNG